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求解微分方程

时间:2021-09-09 04:19 来源:网络整理 转载
一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为 微分方程 。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的 阶 。 按照不同的分类标准,微分方程可以分为线性或非线性,齐次或非齐次。 一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为微分

一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的


按照不同的分类标准,微分方程可以分为线性或非线性,齐次或非齐次。


一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解,含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程阶数相等的解称为微分方程的通解一般解)。


下面介绍微分方程的求解方法。


一、一阶微分方程


一阶微分方程具有如下一般形式:



1.可分离变量

这类方程可以化为如下形式:


设  ,可以通过下式求解


如果  ,则易知  也是方程的解。


2.齐次方程

形如


的一阶微分方程称为齐次微分方程,简称齐次方程

通过变量替换,可以将这类方程化为可分离变量的方程来求解。

令 

 或 

其中  是新的未知函数,则有


将式代入原方程,得


分离变量,两边积分,有


求出积分后,再将  回代,便得到方程的解。


3.可化为齐次方程的微分方程


有些问题本身虽然不是齐次的,但是通过适当变换,可以化为齐次方程。

例如,对于形如


的方程,先求出两条曲线


的交点  ,于是作平移变换


这时,原方程可以化为齐次方程



4.一阶线性微分方程


形如


的方程称为一阶线性微分方程

当  时,上式变为


这个方程称为一阶齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程是可分离变量的方程,由上面的方法可以得到方程的通解为


其中  是任意常数。

下面再讨论一阶齐次非线性方程的通解。

将方程变形为


两边积分,得


若记  ,则



与齐次方程的通解相比较,易见其表达形式一致,只需将  换为函数  。由此可以引出求解一阶非齐次线性微分方程的常数变异法。即在求出齐次方程通解后,将通解中的常数  变异为待定函数  ,并设一阶非齐次方程的通解为


求导,得


将  和  代入原方程,得


积分,得


从而得到一阶非齐次线性微分方程的通解为


上述公式可以写成


从中可以看出,一阶非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其本身的一个特解之和。这个结论对高阶非齐次线性方程亦成立。


5.伯努利方程


形如


的方程称为伯努利方程。其中  为常数,且  。

伯努利方程是一类非线性方程,但是通过适当的变换,就可以把它转化为线性方程。

方程两端同时除以  ,得


于是,令  ,就得到关于变量  的一阶线性方程


利用线性方程的求解方法求出通解后,再回代原变量,便可得到伯努利方程的通解




二、特殊二阶微分方程


本节介绍三种可以通过化简来求解的二阶微分方程形式。


1.  型


这是最简单的二阶微分方程,求解方法是逐次积分,得到


这类方程的解法,可以推广到  阶微分方程


只要连续积分  次,就可以得到这个方程含有  个任意常数的通解。


2.  型


这类方程的特点是不显含未知函数  ,求解方法是:

令  ,则  ,原方程化为以  为未知函数的一阶微分方程


设其通解为


然后回代变量,又可以得到一个一阶微分方程


对它进行积分,可以得到方程的通解



3.   型


这类方程的特点是不显含未知函数  ,求解方法是:

把  暂时看成自变量,并作变换  ,于是,由符合函数求导法则,有


这样将原方程化为


这是一个关于变量  的一阶微分方程,设它的通解为


这是可分离变量的方程,对其积分得到原方程的通解



三、二阶线性微分方程


二阶线性微分方程的一般形式是


函数  成为方程的自由项

当  时,方程变为


后者称为二阶齐次线性微分方程,前者称为二阶非齐次线性微分方程


下面介绍几个重要的定理。


定理一:如果函数 与 是方程 (2) 的两个解,则


也是方程 (2) 的解,其中  是任意常数。


这个性质表明其次线性方程的解符合叠加定理


补充一个定义:如果  是定义在区间  内的两个函数。如果存在两个不全为零的常数  ,使得在区间  内恒有


则称这两个函数在区间  内线性相关,否则称为线性无关


定理二:如果函数 与 是方程 (2) 的两个线性无关的特解,则


也是方程 (2) 的通解,其中  是任意常数。


定理三:设  是方程 (1) 的一个特解,而  是其对应的齐次方程 (2) 的通解,则


是二阶非齐次线性微分方程 (1) 的通解。


定理四:设  分别是方程


的特解,则  是方程  的特解。


这个定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加定理


定理五:设  是方程 


的解,其中  为实值函数, 为纯虚数,则  分别是方程


的解。


在方程 (1) 中,系数是随  变化的,这类方程求解比较困难,下面介绍处理这类方程的两种方法。


1.降阶法


考虑二阶齐次线性方程


设  是方程的一个已知的非零特解,作变量替换


其中  为待定系数,求  的一阶导数和二阶导数,得


将他们代入方程,得


各项系数是  的已知函数,因为  是原方程的解,所以,其中  的系数为 0 。

故上式可以化为


再做变量替换  ,得


分离变量


两边积分,得其通解


其中  为任意常数。

对  积分,得


其中  为任意常数。

代回原变量,就得到原方程的通解


这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式

综上所述,对于二阶齐次线性方程,如果已知其一个非零特解,作变量替换  就可将其姜维一阶齐次线性方程,从而求得通解。

对于二阶非齐次线性方程,若已知其对应的齐次方程的一个特解,作同样的变量替换(因为这种变换并不影响方程的右端),也能使非齐次方程降一阶。


2.常数变异法


设有二阶非齐次线性方程


其中  在某区间上连续,如果其对应的齐次方程


的通解  已经求得,可通过如下方法求得其通解。

设非齐次方程具有形如


的特解,对  求导数,得


把特解代入原方程,可以得到确定  的一个方程,因为这里有两个未知函数,所以还需要添加另一个条件,为计算发辫,我们补充如下条件:  ,这样



代入原方程,并注意到  是齐次方程的解,经整理得


与补充条件联立,得方程组


因为  线性无关,即  常数,所以


设  则有  ,所以上述方程有唯一解,解得


积分并取一个原函数,得


于是,所求特解为


所以,所求方程的通解为





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